题目内容
已知AB是抛物线y2=ax（a＞0）的焦点弦，且A（x1，y1），B（x2，y2），点F是抛物线的焦点，则|AB|=
（θ为直线AB的倾斜角）．
| a |
| sin2θ |
| a |
| sin2θ |
分析：设直线AB的方程为x=my+
，与抛物线方程联解并利用根与系数的关系算出x1+x2=am2+
，结合抛物线的定义得到|AB|=a（m2+1）=
．利用解三角形算出O到AB的距离d=
，从而算出S△AOB=
•|AB|•d=
．
| a |
| 4 |
| a |
| 2 |
| a |
| sin2θ |
| asinθ |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| a2 |
| 8sinθ |
解答：解：∵抛物线y2=ax（a＞0）的焦点坐标为F（
，0）
∴设直线AB的方程为x=my+
，（m是斜率tanθ的倒数）
代入y2=ax，可得y2-amy-
=0
∴y1+y2=am，y1y2=-
，
可得y12+y22=（y1+y2）2-2y1y2=a2m2+
，
∵y12+y22=a（x1+x2），∴x1+x2=am2+
，
∴焦点弦|AB|=x1+x2+
=am2+a=a（m2+1），
∵m2+1=
+1=
∴|AB|=am2+a=
∵∠OFB=θ，得O到AB的距离d=|OF|sinθ=
∴S△AOB=
•|AB|•d=
•
•
=
故答案为：
| a |
| 4 |
∴设直线AB的方程为x=my+
| a |
| 4 |
代入y2=ax，可得y2-amy-
| a2 |
| 4 |
∴y1+y2=am，y1y2=-
| a2 |
| 4 |
可得y12+y22=（y1+y2）2-2y1y2=a2m2+
| a2 |
| 2 |
∵y12+y22=a（x1+x2），∴x1+x2=am2+
| a |
| 2 |
∴焦点弦|AB|=x1+x2+
| a |
| 2 |
∵m2+1=
| 1 |
| tan2θ |
| 1 |
| sin2θ |
∴|AB|=am2+a=
| a |
| sin2θ |
∵∠OFB=θ，得O到AB的距离d=|OF|sinθ=
| asinθ |
| 4 |
∴S△AOB=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| a |
| sin2θ |
| asinθ |
| 4 |
| a2 |
| 8sinθ |
故答案为：
| a2 |
| 8sinθ |
点评：本题给出抛物线焦点弦的倾角，求焦点弦与原点构成三角形的面积，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质、三角函数化简和三角形面积公式等知识，属于中档题．
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