题目内容

已知AB是抛物线y2=ax(a>0)的焦点弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),点F是抛物线的焦点,则|AB|=
a
sin2θ
a
sin2θ
(θ为直线AB的倾斜角).
分析:设直线AB的方程为x=my+
a
4
,与抛物线方程联解并利用根与系数的关系算出x1+x2=am2+
a
2
,结合抛物线的定义得到|AB|=a(m2+1)=
a
sin2θ
.利用解三角形算出O到AB的距离d=
asinθ
4
,从而算出S△AOB=
1
2
•|AB|•d=
a2
8sinθ
解答:解:∵抛物线y2=ax(a>0)的焦点坐标为F(
a
4
,0)
∴设直线AB的方程为x=my+
a
4
,(m是斜率tanθ的倒数)
代入y2=ax,可得y2-amy-
a2
4
=0
∴y1+y2=am,y1y2=-
a2
4

可得y12+y22=(y1+y22-2y1y2=a2m2+
a2
2

∵y12+y22=a(x1+x2),∴x1+x2=am2+
a
2

∴焦点弦|AB|=x1+x2+
a
2
=am2+a=a(m2+1),
∵m2+1=
1
tan2θ
+1=
1
sin2θ

∴|AB|=am2+a=
a
sin2θ

∵∠OFB=θ,得O到AB的距离d=|OF|sinθ=
asinθ
4

∴S△AOB=
1
2
•|AB|•d=
1
2
a
sin2θ
asinθ
4
=
a2
8sinθ

故答案为:
a2
8sinθ
点评:本题给出抛物线焦点弦的倾角,求焦点弦与原点构成三角形的面积,着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质、三角函数化简和三角形面积公式等知识,属于中档题.
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