题目内容
已知AB是抛物线y2=ax(a>0)的焦点弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),点F是抛物线的焦点,则|AB|=
(θ为直线AB的倾斜角).
a |
sin2θ |
a |
sin2θ |
分析:设直线AB的方程为x=my+
,与抛物线方程联解并利用根与系数的关系算出x1+x2=am2+
,结合抛物线的定义得到|AB|=a(m2+1)=
.利用解三角形算出O到AB的距离d=
,从而算出S△AOB=
•|AB|•d=
.
a |
4 |
a |
2 |
a |
sin2θ |
asinθ |
4 |
1 |
2 |
a2 |
8sinθ |
解答:解:∵抛物线y2=ax(a>0)的焦点坐标为F(
,0)
∴设直线AB的方程为x=my+
,(m是斜率tanθ的倒数)
代入y2=ax,可得y2-amy-
=0
∴y1+y2=am,y1y2=-
,
可得y12+y22=(y1+y2)2-2y1y2=a2m2+
,
∵y12+y22=a(x1+x2),∴x1+x2=am2+
,
∴焦点弦|AB|=x1+x2+
=am2+a=a(m2+1),
∵m2+1=
+1=
∴|AB|=am2+a=
∵∠OFB=θ,得O到AB的距离d=|OF|sinθ=
∴S△AOB=
•|AB|•d=
•
•
=
故答案为:
a |
4 |

∴设直线AB的方程为x=my+
a |
4 |
代入y2=ax,可得y2-amy-
a2 |
4 |
∴y1+y2=am,y1y2=-
a2 |
4 |
可得y12+y22=(y1+y2)2-2y1y2=a2m2+
a2 |
2 |
∵y12+y22=a(x1+x2),∴x1+x2=am2+
a |
2 |
∴焦点弦|AB|=x1+x2+
a |
2 |
∵m2+1=
1 |
tan2θ |
1 |
sin2θ |
∴|AB|=am2+a=
a |
sin2θ |
∵∠OFB=θ,得O到AB的距离d=|OF|sinθ=
asinθ |
4 |
∴S△AOB=
1 |
2 |
1 |
2 |
a |
sin2θ |
asinθ |
4 |
a2 |
8sinθ |
故答案为:
a2 |
8sinθ |
点评:本题给出抛物线焦点弦的倾角,求焦点弦与原点构成三角形的面积,着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质、三角函数化简和三角形面积公式等知识,属于中档题.

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