Question

定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=2^x+log₂x，则在R上的方程f（x）=0的实根个数为（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：由题意先画出当x＞0时，函数y=log

1

2

x与y= 2x的图象，由图象求出方程根的个数；再根据奇函数图象的对称性以及f（0）=0，可求出方程的根的个数

解答：解：当x＞0时，f（x）=2^x+log₂x，则
令f（x）=2^x+log₂x=0可得2x=-log2x=log

1

2

x
在同一坐标系下分别画出函数y=log

1

2

x与y=2^x的图象如图所示
可知两个图象只有一个交点，即方程f（x）=0只有一个实根，
∵f（x）是定义在R上的奇函数
∴当x＜0时，方程f（x）=0也有一个实根，
又∵f（0）=0，
∴方程f（x）=0的实根的个数为3．
故选D

点评：本题的考点是奇函数图象的性质应用，即根据题意画出一部分函数的图象，由交点的个数求出对应方程根的个数，利用图象的对称性和“f（0）=0”求出方程根的个数，注意解答本题时容易漏f（0）=0．