Question

在直角坐标系xOy中，点，点F为抛物线C：y=mx²（m＞0）的焦点，线段MF恰被抛物线C平分．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）过点M作直线l交抛物线C于A，B两点，设直线FA、FM、FB的斜率分别为k₁、k₂、k₃，问k₁，k₂，k₃能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l的方程；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）确定焦点F的坐标、线段MF的中点坐标，代入抛物线方程，即可求m的值；
（Ⅱ）设出l方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，及k₁，k₂，k₃能成公差不为零的等差数列，可得方程，即可求得直线l的方程．
解答：解：（Ⅰ）焦点F的坐标为，线段MF的中点在抛物线C上，
∴，∴8m²+2m-1=0，∴（舍）．  …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：抛物线C：x²=4y，F（0，1）．
设l方程为：，A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则由得：x²-4kx+8k+2=0，△=16k²-4（8k+2）＞0，
解得或． 
由韦达定理可得，，…（8分）
假设k₁，k₂，k₃能成公差不为零的等差数列，则k₁+k₃=2k₂．
而
=，…（11分）
∵，∴，8k²+10k+3=0，解得：（符合题意），（此时直线l经过焦点F，k₁=k₂=k₃，不合题意，舍去），…（14分）
直线l的方程为，即x+2y-1=0．
故k₁，k₂，k₃能成公差不为零的等差数列，直线l的方程为：x+2y-1=0． …（15分）
点评：本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．