Question

【题目】已知函数．

（1）求的单调递增区间；

（2）求证：曲线在区间上有且只有一条斜率为2的切线．

Answer 1

【答案】（1），（2）见解析

【解析】

（1）根据函数解析式，求得导函数，令即可求得的单调递增区间；

（2）曲线在区间上有且只有一条斜率为2的切线，等价于在区间上方程有唯一解，构造函数，求得导函数，并判断的符号，确定的单调性与极值，从而判断出在上存在唯一一个零点，即可证明结论.

（1）函数,，

则，

令得，，

∴单调递增区间为，

（2）原命题等价于：在区间上，方程有唯一解，

设，

则

此时，，，变化情况如下：

		0
		极大值

此时，在上单调递增，且，，

在上单调递减，且，

∴在上存在唯一一个根，

在上存在唯一一个零点，

∴曲线在区间上有且仅有一条斜率为2的切线.