题目内容
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，D、E分别是CC1和AB1的中点，点F在BC上且满足BF：FC=1：3．
（1）若M为AB中点，求证：BB1∥平面EFM；
（2）求证：EF⊥BC；
（3）求二面角A1-B1D-C1的大小．
（1）若M为AB中点，求证：BB1∥平面EFM；
（2）求证：EF⊥BC；
（3）求二面角A1-B1D-C1的大小．
（1）证明：连接EM、MF，∵M、E分别是正三棱柱的棱AB和AB1的中点，
∴BB1∥ME，又BB1?平面EFM，∴BB1∥平面EFM．
（2）证明：取BC的中点N，连接AN由正三棱柱得：AN⊥BC，
又BF：FC=1：3，∴F是BN的中点，故MF∥AN，
∴MF⊥BC，而BC⊥BB1，BB1∥ME．
∴ME⊥BC，由于MF∩ME=M，∴BC⊥平面EFM，
又EF?平面EFM，∴BC⊥EF．
（3）解 取B1C1的中点O，连结A1O知，A1O⊥面BCC1B1，由点O作B1D的垂线OQ，垂足为Q，连结A1Q，由三垂线定理，A1Q⊥B1D，故∠A1QD为二面角A1-B1D-C的平面角，易得∠A1QO=arctan
∴BB1∥ME，又BB1?平面EFM，∴BB1∥平面EFM．
（2）证明：取BC的中点N，连接AN由正三棱柱得：AN⊥BC，
又BF：FC=1：3，∴F是BN的中点，故MF∥AN，
∴MF⊥BC，而BC⊥BB1，BB1∥ME．
∴ME⊥BC，由于MF∩ME=M，∴BC⊥平面EFM，
又EF?平面EFM，∴BC⊥EF．
（3）解 取B1C1的中点O，连结A1O知，A1O⊥面BCC1B1，由点O作B1D的垂线OQ，垂足为Q，连结A1Q，由三垂线定理，A1Q⊥B1D，故∠A1QD为二面角A1-B1D-C的平面角，易得∠A1QO=arctan
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B、
| ||
C、
| ||
D、
|
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