题目内容
已知直线l：y=kx+1，圆C：（x-1）2+（y+1）2=12．
（1）试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
（2）求直线l被圆C截得的最短弦长．
（1）试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
（2）求直线l被圆C截得的最短弦长．
（1）由
，消去y得到（k2+1）x2-（2-4k）x-7=0，
∵△=（2-4k）2+28k2+28＞0，
∴不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
（2）设直线与圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2），
则直线l被圆C截得的弦长|AB|=
|x1-x2|=2
=2
，
令t=
，则有tk2-4k+（t-3）=0，
当t=0时，k=-
；
当t≠0时，由k∈R，得到△=16-4t（t-3）≥0，
解得：-1≤t≤4，且t≠0，
则t=
的最大值为4，此时|AB|最小值为2
，
则直线l被圆C截得的最短弦长为2
．
|
∵△=（2-4k）2+28k2+28＞0，
∴不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
（2）设直线与圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2），
则直线l被圆C截得的弦长|AB|=
| 1+k2 |
|
11-
|
令t=
| 4k+3 |
| 1+k2 |
当t=0时，k=-
| 3 |
| 4 |
当t≠0时，由k∈R，得到△=16-4t（t-3）≥0，
解得：-1≤t≤4，且t≠0，
则t=
| 4k+3 |
| 1+k2 |
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则直线l被圆C截得的最短弦长为2
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