Question

已知直线l：y=kx+b是椭圆C：

x2

4

+y2=1的一条切线，F₁，F₂为左右焦点．
（1）过F₁，F₂作l的垂线，垂足分别为M，N，求|F₁M|•|F₂M|的值；
（2）若直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点，求|AB|的最小值，并求此时直线l的斜率．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），联立直线方程与椭圆方程，由△=0可求得b²=4k²+1，利用点到直线间的距离公式可求得|F₁M|•|F₂M|的值；
（2）由题意可求得A（-

b

k

，0），B（0，b），利用两点间的距离公式可求得|AB|的关于k的表达式，利用基本不等式即可求得|AB|最小时直线l的斜率．

解答：解：（1）联立方程

y=kx+b x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²+kbx+4b²-4=0，----------（2分）
依题意，△=0得b²=4k²+1，----------------------------（4分）
∵F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0）
|F₁M|•|F₂M|=

| 3 k+b|

k2+1

•

|- 3 k+b|

k2+1

=

|b2-3k2|

k2+1

=

|4k2+1-3k2|

k2+1

=1-------------（6分）
（2）∵A（-

b

k

，0），B（0，b），
∴|AB|=

b2 k2 +b2

=

1 k2 +4k2+5

≥3----（9分）

当且仅当

1

k2

=4k²，即k=±

2

2

时取等号，
∴|AB|的最小值为3，此时直线l的斜率为±

2

2

．--------（12分）

点评：本题考查椭圆的简单性质，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查点到直线间的距离公式与两点间的距离公式，考查基本不等式，考查转化与方程思想，属于中档题．