Question

已知直线l：y=kx+1与椭圆

x2

2

+y²=1交于M、N两点，且|MN|=

4 2

3

．求直线l的方程．

Answer 1

分析：将直线代入椭圆方程，通过消元转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系，利用弦长公式求直线的斜率，从而得直线方程．

解答：解：设直线l与椭圆的交点坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

y=kx+1 x2 2 +y2=1

消去y得（1+2k²）x²+4kx=0，
所以x1+x2=-

4k

1+2k2

，x1x2=0，由|MN|=

4 2

3

，得(x1-x2)2+(y1-y2)2=

32

9

，
所以(1+k2)(x1-x2)2=

32

9

，即(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=

32

9

，
所以(1+k2)(-

4k

1+2k2

)2=

32

9

，化简得k⁴+k²-2=0，
解得k²=1，所以k=±1，
所以所求直线l的方程是y=x+1或y=-x+1．

点评：本题主要考查直线与椭圆相交时，利用弦长公式求直线方程，综合性较强，运算量较大．