Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的n∈N⁺，点（n，S_n）均在函数f（x）=2^x的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=log₂a_n，求使成立的n的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意得S_n=2ⁿ，由项与前n项的关系a_n=得数列{a_n}的通项公式；
（2）由数列{a_n}的通项公式得b_n的表达式，把数列{b_n}中的每项都裂成两部分，也就是差的形式，各项相加，可消项，最后只留两项，代入不等式可求n的范围，又n是正整数，可得n的最大值．
解答：解：（1）由题意得S_n=2ⁿ，则S_n-1=2^n-1（n≥2），
∴a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1（n≥2），
又a₁=S₁=2，∴a_n=
（2）∵b_n=log₂a_n=
∴==（-）
∴+++…+
=（1-+-+-+…+-）
=（1-）
∴（1-）＜得n＜10
∴使+++…+＜成立的n的最大值为9．
点评：用到项与前n项和之间的关系，注意n=1的时候；用裂项法求和时，注意项的形式，分子上是一个常数，分母上可分解成两个关于n的一次式相乘．