Question

求证△ABC的三条高线交于一点．

Answer 1

答案：
解析：

证法1：设△ABC的AB，AC边上的高分别是CF，BE，它们交于点H，连结AH，如下图． 　　设＝c，＝b，＝h，则 　　＝h－b，＝h－c． 　　∵CH⊥AB，BE⊥AC， 　　∴c·(h－b)＝0，b·(h－c)＝0，即 　　c·h－c·b＝0，b·h－b·c＝0． 　　两式相减得c·h－h·b＝0，即(c－b)·h＝0． 　　∵＝c－b，∴BC⊥AH，即三角形三条高线交于一点． 　　证法2：设＝c，＝b， 　　∵与不共线，∴＝mc＋nb． 　　∵BC⊥AH，∴(mc＋nb)·(b－c)＝0，即 　　(m－n)b·c＋nb2－mc2＝0．① 　　又＝＋＝－c＋mc＋nb＝(m－1)c＋nb，BH⊥AC， 　　∴[(m－1)c＋nb]·b＝0，即 　　(m－1)b·c＋nb2＝0．　　　② 　　由②－①得(n－1)b·c＋mc2＝0． 　　又＝＋＝(n－1)b＋mc， 　　故·＝[(n－1)b＋mc]·c＝(n－1)b·c＋mc2＝0． 　　∴CH⊥AB，∴三角形的三条高线交于一点．

提示：

直接证明三条直线交于一点不容易，为此先设出两条边上高线的交点，只要证明此交点与相应三角形顶点的连线垂直三角形的另一边即可，这样正好应用向量数量积进行运算，完成证明．