Question

求证△ABC的三条高交于一点．

Answer 1

答案：
解析：

　　证法1：如图，已知AD、BE、CF是△ABC的三条高．

　　设BE、CF交于H，且令

　　

　　∴(h－b)·c＝0，(h－c)·b＝0，

　　∴(h－b)·c＝(h－c)·b．化简得h·(c－b)＝0．∴．

　　∴AH与AD重合，∴AD、BE、CF相交于一点H．

　　证法2：如图，设P为△ABC内一点．

　　

　　有a·(c－b)＝0，b·(a－c)＝0．

　　也就是a·c－a·b＝0，　　　　①

　　b·a－b·c＝0．　　　　②

　　①＋②得a·c－b·c＝0．

　　即c·(a－b)＝0，∴＝0．

　　可得PC⊥BA，即P为三条高线的交点．