Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=2，由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA₁到顶点C₁的最短路线与AA₁的交点记为M，
求：（Ⅰ）三棱柱的侧面展开图的对角线长；
（Ⅱ）该最短路线的长及的值；
（Ⅲ）平面C₁MB与平面ABC所成二面角（锐角）的大小。

Answer 1

解：（Ⅰ）正三棱柱的侧面展开图是长为6， 宽为2的矩形， 其对角线长为；
（Ⅱ）如图，将侧面绕棱AA1 旋转120°使其与侧面在同一平面上， 点B运动到点D的位置， 连接DC1交AA1于M， 则DC1就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线， 其长为， ， ∴， 故； （Ⅲ）连接DB，C1B，则DB就是平面C1MB与平面ABC的交线， 在△DCB中， ， ∴， 又， 由三垂线定理得， ∴就是平面C1MB与平面ABC所成二面角的平面角 （锐角）， ∵侧面是正方形， ∴， 故平面C1MB与平面ABC所成的二面角（锐角）为45°。