Question

已知数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=2a_n-1（n≥1）
（Ⅰ）设b_n=a_n-1（n=1，2，3…），求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式
（Ⅲ）设cn=

2n

an•an+1

，求证：数列{c_n}的前n项和Sn＜

1

3

．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵a_n+1=2a_n-1（n≥1）
∴两边同时减去1，得a_n+1-1=2（a_n-1）
又a₁-1=2，b_n=a_n-1
∴{b_n}是以a₁-1=2为首项，q=2为公比的等比数列，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n-1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ+1（n∈N^*）
（Ⅲ）证明：cn=

2n

an•an+1

=

1

2n+1

-

1

2n-1+1

∴S_n=（

1

21+1

-

1

22+1

）+（

1

22+1

-

1

23+1

）+…+（

1

2n+1

-

1

2n-1+1

）=

1

3

-

1

2n-1+1

＜

1

3

即Sn＜

1

3