Question

【题目】已知数列的前项积为,即.

(1)若数列为首项为2016,公比为的等比数列,

①求的表达式;②当为何值时, 取得最大值;

(2)当时,数列都有且成立,

求证: 为等比数列.

Answer 1

【答案】（1）①；②12；（2）见解析．

【解析】试题分析：

(1)①由题意知,则，化简可得结论；②记,,即,,作商，计算出的最大值，再由n是奇数时， 负数，n是偶数时， 是正数，即可得出结论；

(2) 当时, 易得；由得，当时, ，两式相除，化简可得，可得，这两式相除，则易得结论.

试题解析：

(1)①由题意知,

所以

②记,,即,,

,当时, ;当时, ,

又因为,所以,当时, ;当时, ,所以的最大值为

此时,而,所以.

而,

所以,当时, 取得最大值

(2)当时, ,所以,即,

已知①

当时,

①②两式相除得,化简得,③

又因为,④

③两式相除得,⑤

⑤式可化为: ,

令,所以,所以,

即,都成立,

所以为等比数列．