Question

【题目】椭圆E： + =1（a＞b＞0）的焦点到直线x﹣3y=0的距离为 ，离心率为 ，抛物线G：y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆E的焦点重合；斜率为k的直线l过G的焦点与E交于A，B，与G交于C，D．
（1）求椭圆E及抛物线G的方程；
（2）是否存在学常数λ，使 为常数，若存在，求λ的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设E、G的公共焦点为F（c，0），由题意得 ， ．

联立解得 ．

所以椭圆E： ，抛物线G：y2=8x．

（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．

直线l的方程为y=k（x﹣2），与椭圆E的方程联立 ，得（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0

△=400k4﹣20（5k2+1）（4k2﹣1）=20（k2+1）＞0．

= ．

直线l的方程为y=k（x﹣2），

与抛物线G的方程联立 ，得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0．

．

．

= ．

要使 为常数，则20+ =4，得 ．

故存在 ，使 为常数．

【解析】（1）由点到直线的距离公式列式求出c的值，结合土偶眼离心率求出a的值，再由抛物线G：y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆E的焦点重合即可求得椭圆方程和抛物线方程；（2）依次射出A，B，C，D四点的坐标，设出直线l的方程，联立直线方程和圆锥曲线方程，利用根与系数关系分别写出A，B两点横坐标的和与积，写出C，D两点横坐标的和与积，利用弦长公式求出AB和CD的长度，代入 后可求出使 为常数的λ的值．