Question

已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最大最小值及相应的x的值；
（3）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）==1+sin2x+=+sin（2x+），
故f（x）的最小正周期 T==π．
（2）当2x+=2kπ-时，k∈z，函数f（x）取得最小值为=，此时x的值为{x|x=kπ-，k∈z}；
当2x+=2kπ+时，k∈z，函数f（x）取得最大值为=，此时x的值为{x|x=kπ+，k∈z}．
（3）把函数y=sin2x（x∈R）的图象上的所有点向左平移个单位可得函数y=sin2（x+）的图象，再把所得
图象上的所有点向上平移个单位，即可得到 函数f（x）=+sin（2x+） 的图象．
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 +sin（2x+），由此求得它的最小正周期．
（2）根据正弦函数的定义域和值域，当2x+=2kπ-时，k∈z，函数f（x）取得最小值，当2x+=2kπ+时，k∈z，函数f（x）取得最大值，由此可得函数f（x）的最大、最小值及相应的x的值．
（3）根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，得出结论．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．