Question

设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（　　）

• A、πa²
• B、

  7

  3

  πa2
• C、

  11

  3

  πa2
• D、5πa²

Answer 1

分析：由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．

解答：解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为R=

( a 2 )2+( a 2sin60° )2

=

7 12 a2

，
球的表面积为S2=4π•

7a2

12

=

7

3

πa2，
故选B．

点评：本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．