Question

在锐角△ABC中，若A=2B，则

a

b

的取值范围是

（

2

，

3

）

．

Answer 1

分析：利用正弦定理列出关系式，将A=2B代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，约分得到结果为2cosB，根据三角形的内角和定理及三角形ABC为锐角三角形，求出B的范围，进而确定出cosB的范围，即可得出所求式子的范围．

解答：解：∵A=2B，
∴根据正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：

a

b

=

sinA

sinB

=

sin2B

sinB

=

2sinBcosB

sinB

=2cosB，
∵A+B+C=180°，
∴3B+C=180°，即C=180°-3B，
∵C为锐角，
∴30°＜B＜60°，
又0＜A=2B＜90°，
∴30°＜B＜45°，
∴

2

2

＜cosB＜

3

2

，即

2

＜2cosB＜

3

，
则

a

b

的取值范围是（

2

，

3

）．
故答案为：（

2

，

3

）

点评：此题考查了正弦定理，余弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．