题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，底面
为菱形，平面
底面，且
，
，
，
为
的中点.
（1）证明：
.
（2）求三棱锥
的体积.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）要证
，由于底面菱形中对角线
，因此可取
中点
，从而有
，即
，于是只要证
，即可得
平面
，从而得证线线垂直，这可由面面垂直的性质得
平面
，从而得
；
（2）换底，即
，由（1）
是棱锥的高，底面
的面积是
面积的一半，是菱形面积的四分之一，再由体积公式可得.
（1）证明：取的中点，连接，
，
.
因为
，为的中点，所以
.
因为平面
平面，平面
平面
，
所以平面.
因为
平面，所以.
因为底面为菱形，所以
.
因为
为
的中点，为的中点，所以，所以.
因为
，所以平面.
因为
平面，所以.
（2）解：由（1）可知四棱锥
的高为.
因为
，
，，所以
.
因为底面为菱形，
，
，
所以
，
所以
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