Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°，AB＝BC，E为AB的中点，求证：△ECD为等边三角形．

Answer 1

答案：
解析：

证明：连结AC，过点E作EF平行于AD交DC于点F． 　　因为AD∥BC， 　　所以AD∥EF∥BC． 　　又因为E是AB的中点， 　　所以F是DC的中点(经过梯形一腰的中点与底边平行的直线平分另一腰)． 　　因为DC⊥BC， 　　所以EF⊥DC． 　　所以ED＝EC(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)． 　　所以△EDC为等腰三角形． 　　因为AB＝BC，∠B＝60°， 　　所以△ABC是等边三角形． 　　所以∠ACB＝60°． 　　又因为E是AB边的中点， 　　所以CE平分∠ACB． 　　所以∠FEC＝∠ECB＝30°． 　　所以∠DEF＝30°． 　　所以∠DEC＝60°． 　　又因为ED＝EC， 　　所以△DEC为等边三角形． 　　分析：一般在梯形中给出了一腰的中点，常添加的辅助线有：①过这一点作底边的平行线，由平行线等分线段定理推论得另一腰的中点；②可延长DE(或CE)与底边相交，构造全等三角形．