Question

如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠ABC＝90°，2AB＝BC＝BB₁＝a，且A₁C∩AC₁＝D，BC₁∩B₁C＝E，截面ABC₁∩截面A₁B₁C＝DE．求证：

(1)DE⊥平面BB₁C₁C；

(2)A₁C⊥BC₁．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1⊥BB1． 　　因为∠ABC＝90°， 　　所以∠A1B1C1＝90°， 　　则A1B1⊥B1C1． 　　又B1C1∩B1B＝B1， 　　所以A1B1⊥平面BB1C1C． 　　因为D，E分别是A1C和B1C的中点，所以DE∥A1B1． 　　所以DE⊥平面BB1C1C． 　　(2)因为在矩形BB1C1C中，BC＝BB1，所以BB1C1C为正方形，所以BC1⊥B1C．由(1)知A1B1⊥平面BB1C1C，所以A1B1⊥BC1．因为A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1C．又因为A1C平面A1B1C，所以A1C⊥BC1．