Question

焦点在x轴上的椭圆C的一个顶点为B（0，-1），右焦点到直线x-y+2

2

=0的距离为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C交于M，N两点，使得|BM|=|BN|？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说出理由．

Answer 1

分析：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．由题意可得

b=1 |c+2 2 | 2 =3 a2=b2+c2

，解得即可．
（2）假设存在存在斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C交于M，N两点，使得|BM|=|BN|．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点为R（x₀，y₀），设直线l的方程为y=kx+m．与椭圆的方程联立可得△＞0即根与系数的关系，即可得到等R的坐标，由于BR⊥MN，可得k_BR•k_MN=-1，代入△＞0即可．

解答：解：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．由题意可得

b=1 |c+2 2 | 2 =3 a2=b2+c2

，解得

a2=3 c2=2，b=1

，∴椭圆的方程为

x2

3

+y2=1．
（2）假设存在存在斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C交于M，N两点，使得|BM|=|BN|．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点为R（x₀，y₀），设直线l的方程为y=kx+m．
联立

y=kx+m x2+3y2=3

，得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，∵△=36k²m²-12（1+3k²）（m²-1）＞0，化为m²＜1+3k²（*）
∴x1+x2=-

6km

1+3k2

，
∴x0=

x1+x2

2

=-

3km

1+3k2

．∴y₀=kx₀+m=

m

1+3k2

．∴R(-

3km

1+3k2

，

m

1+3k2

)．
∵BR⊥MN，∴k_BR•k_MN=-1，得

m 1+3k2 +1

- 3km 1+3k2

×k=-1，化为2m=1+3k²，代入（*）得k²＜1，∵k≠0，∴解得-1＜k＜1且k≠0．即k的取值范围是（-1，0）∪（0，1）

点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到△＞0即根与系数的关系、直线垂直与斜率的关系等是解题的关键．