Question

中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的焦距为2，两准线间的距离为10．设A（5，0），B（1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点A作直线与椭圆C只有一个公共点D，求过B，D两点，且以AD为切线的圆的方程；
（3）过点A作直线l交椭圆C于P，Q两点，过点P作x轴的垂线交椭圆C于另一点S．若

AP

=t

OA

（t＞1），求证：

SB

=t

BQ

．

Answer 1

分析：（1）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，依题意得：

2c=2 2a2 c =10

，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）设过点A的直线方程为：y=k（x-5），代入椭圆方程

x2

5

+

y2

4

=1得（4+5k²）x²-50k²x+125k²-20=0．依题意得：△=（50k²）²-4（4+50k²）（125k²-20）=0，由此能求出过B，D两点，且以AD为切线的圆的方程．
（3）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

AP

=t

AQ

得：

x1-5=t(x2-5) y1=ty2

，代入

x12 5 + y12 4 =1 x22 5 + y22 4 =1

，所以

x1=-2t+3 x2= 3t-2 t

，由此能够证明

SB

=t

BQ

．

解答：解：（1）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
依题意得：

2c=2 2a2 c =10

，得

c=1 a= 5

，
∴b²=4所以，椭圆的标准方程为

x2

5

+

y2

4

=1．
（2）设过点A的直线方程为：y=k（x-5），
代入椭圆方程

x2

5

+

y2

4

=1，
得（4+5k²）x²-50k²x+125k²-20=0（*）
依题意得：△=0，
即（50k²）²-4（4+50k²）（125k²-20）=0
得：k=±

5

5

，
且方程的根为x=1，
∴D(1，±

4 5

5

)，
当点D位于x轴上方时，过点D与AD垂直的直线与x轴交于点E，
直线DE的方程是：y-

4 5

5

=

5

(x-1)，
∴E(

1

5

，0)．
所求圆即为以线段DE为直径的圆，
故方程为：(x-

3

5

)2+(y-

2 5

5

)=

24

25

同理可得：当点D位于x轴下方时，
圆的方程为：(x-

3

5

)2+(y+

2 5

5

)=

24

25

．
（3）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）由

AP

=t

AQ

，
得：

x1-5=t(x2-5) y1=ty2

，
代入

x12 5 + y12 4 =1 x22 5 + y22 4 =1

，
∴

x1=-2t+3 x2= 3t-2 t

（**），
要证

SB

=t

BQ

，即证

1-x1=t(x2-1)…(1) y1=ty2…(2)

，
由方程组（**）可知方程组（1）成立，（2）显然成立．
∴

SB

=t

BQ

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．