Question

某科技公司生产一种产品的固定成本为20 000元，每生产一个产品增加投资100元，已知总收益满足函数R(x)＝(其中x是产品的月产量)，求每月生产多少个产品时该科技公司的利润最大？最大利润是多少？(注：总收益＝总成本＋利润)

Answer 1

答案：
解析：

答：当每月生产300个产品时，该科技公司获得的利润最大，此时，获得的最大利润为25 000元． 　　分析：如果每月的产量为x个，根据题意，生产的成本满足函数g(x)＝20 000＋100x，因此，公司所获得的利润满足函数f(x)＝R(x)－g(x)． 　　解：设科技公司的月产量为x个，则总成本为20 000＋100x元，所以总利润为 　　f(x)＝ 　　当0≤x≤400时，f(x)＝x2＋300x－20 000，此时，函数f(x)＝x2＋300x－20 000的对称轴为x＝300∈[0，400]，所以当x＝300时，f(x)max＝25 000； 　　当x＞400时，f(x)＜60 000－100×400＜25 000． 　　综上所述，当x＝300时，函数f(x)的最大值为25 000． 　　点评：这是一个分段函数求最值的问题．求解这类问题时应该先分别求出各段上的最值，然后再比较各段上的最值，最终得到函数在定义域上的最值，从而得到符合题意的解．