Question

6．某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x（单位：月）与这种鱼类的平均体重y（单位：千克）得到一组观测值，如下表：
（1）在给出的坐标系中，画出关于x、y两个相关变量的散点图．

xi（月）	1	2	3	4	5
yi（千克）	0.5	0.9	1.7	2.1	2.8

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程$\hat y=\widehatbx+\hat a$．
（3）预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）．
（参考公式：$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{（{\overline x}）}^2}}}\hat$，$\hat a=\overline y-b\overline x$，$n{（\overline x）^2}=45$，$n\overline x\overline y=24$，$\sum_{i=1}^5{x_i}{y_i}=29.8$，$\sum_{i=1}^5{x_i^2}=55$．

Answer 1

分析 （1）根据表中数据画出散点图；
（2）根据相关公式求出回归直线方程；
（3）运用回归方程预测回归值．

解答 解：（1）相关变量x，y的散点图如右图；
（2）由题设，$\overline x=3$，$\overline y=1.6$，且$n•（\overline{x}）^2$=45，$n\overline{x}\overline{y}$=24，
$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$=29.8，$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}^2$=55，代入公式，
$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^5{x_i^2}-n{{（\overline x）}^2}}}=\frac{29.8-24}{55-45}=0.58$，
$\hat a=\overline y-\widehatb\overline x=1.6-0.58×3=-0.14$，
所以，回归直线方程为：$\hat y=\widehatbx+\hat a=0.58x-0.14$；
（3）当x=12时，$\hat y=0.58×12-0.14=6.82$
∴饲养满12个月时，这种鱼的平均体重约为6.82千克．

点评 本题主要考查了相关变量的散点图，线性回归直线方程的求解和回归值的预测，属于中档题．