Question

（2012•资阳二模）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且na_n+1=2S_n，数列{b_n}满足bn=

1	a2n-1•a2n+1

，数列{b_n}的前n项和为T_n（其中n∈N^*）．
（Ⅰ）求a_n和T_n；
（Ⅱ）若对任意的n∈N^*，不等式λT_n＜n+8-（-1）ⁿ恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由na_n+1=2S_n，可得（n-1）a_n=2S_n-1，（n≥2），两式相减可得

an+1

an

=

n+1

n

，利用叠乘法即可求解a_n，利用裂项法可求T_n
（Ⅱ）①当n为偶数时，要使不等式λT_n＜n+8-（-1）ⁿ恒成立，即需不等式λ＜

(n+8)(2n+1)

n

=2n+

8

n

+17恒成立．
②当n为奇数时，要使不等式λT_n＜n+8-（-1）ⁿ恒成立，即需不等式λ＜

(n-8)(2n+1)

n

=2n-

8

n

-15恒成立，转化为求解最值即可

解答：解：（Ⅰ）∵na_n+1=2S_n，①
∴（n-1）a_n=2S_n-1，（n≥2）②
①-②，可得na_n+1-（n-1）a_n=2a_n，
∴na_n+1=（n+1）a_n，
即

an+1

an

=

n+1

n

，（2分）
∴an=a1•

a2

a1

•

a3

a2

…

an

an-1

=1×

2

1

×

3

2

×…×

n

n-1

=n（n≥2），
∵a₁=1满足上式，
∴a_n=n（4分）
∴b_n=

1

a2n-1•a2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)（5分）
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

．（6分）
（Ⅱ）①当n为偶数时，要使不等式λT_n＜n+8-（-1）ⁿ恒成立，
即需不等式λ＜

(n+8)(2n+1)

n

=2n+

8

n

+17恒成立．
∵2n+

8

n

≥8，当且仅当n=2时取“=”，
∴λ＜25（8分）
②当n为奇数时，要使不等式λT_n＜n+8-（-1）ⁿ恒成立，即需不等式
λ＜

(n-8)(2n+1)

n

=2n-

8

n

-15恒成立．
∵2n-

8

n

随n增大而增大，
∴n=1时，2n-

8

n

取得最小值-6．
∴λ＜-21．（10分）
综合①、②可得λ的取值范围是λ＜-21．（12分）

点评：本题主要考查了数列的递推公式在数列的通项公式的求解中的应用，叠乘法在求解数列的通项中的应用及数列的裂项求和方法的应用，不等式的恒成立与最值求解的相互转化，具有一定的综合性