Question

已知函数f（x）=

(x-2)2

•(

x-1

)2，
（1）求f（x）的定义域；
（2）将f（x）表示成分段函数的形式；
（3）写出f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）由二次根式的被开方数大于或等于0，解关于x的不等式，可得f（x）的定义域是[1，+∞）；
（2）由（1）得f（x）=|x-2|（x-1），根据绝对值的意义去绝对值，化简即可得到f（x）表示成分段函数的形式；
（3）分别在x≥2与1≤x＜2时求出函数的导数，算出f'（x）＞0与f'（x）＜0的区间，即可得到函数f（x）的单调增区间和单调减区间，从而得到答案．

解答：解：（1）∵f（x）=

(x-2)2

•(

x-1

)2，
∴由x-1≥0，得x≥1，可得f（x）的定义域为[1，+∞）；
（2）由（1）得f（x）=|x-2|（x-1），
∵当x≥2时，|x-2|=x-2；当1≤x＜2时，|x-2|=2-x．
∴当x≥2时，f（x）=（x-2）（x-1）=x²-3x+2；当1≤x＜2时，f（x）=（2-x）（x-1）=-x²+3x-2．
可得f（x）表示成分段函数的形式为f（x）=

x2-3x+2，        (x≥2) -x2+3x-2，     (1≤x＜2)

；
（3）当x≥2时，f（x）=x²-3x+2，可得f'（x）=2x-3，在[2，+∞）上f'（x）＞0．
当1≤x＜2时，f（x）=-x²+3x-2，可得f'（x）=-2x+3，在[1，

3

2

）上f'（x）＞0；在[

3

2

，2）上f'（x）＜0；
∴函数f（x）的单调减区间为（

3

2

，2）；单调增区间为[1，

3

2

）和[2，+∞）．

点评：本题给出含有根式和绝对值的函数，求函数的定义域与单调区间，着重考查了函数定义域求法、绝对值的意义和函数单调性的研究等知识，属于中档题．