Question

【题目】设锐角△ABC的外接圆上的任意一点P所对应的西姆松线为，P的对径点为，与的交点为。证明:对上两点P、Q，当且仅当时，关于点N对称，其中，N为△ABC的九点圆的圆心。

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

先证明下面的引理.

引理1 △ABC的任两条西姆松线不平行,

证明 否则，设分别与直线AB、AC交于点.

由与位似知其外接圆位似，位似中心为A.故三点共线，这与点都在上矛盾.

引理2当且仅当为的对径点时，，且的交点在九点圆上

证明 充分性.

设是上的对径点，对应的西姆松线分别为，其中，分别为，在上的射影.

易知，点在以为直径的圆上，且.

故圆内接四边形与圆内接四边形相似，且与交于点分别是的中点不妨设与凸四边形内部不相交(如图).

设PP2与所夹角为.

则.

易知分别为的中点.

则，

故

从而，点K在的外接圆的弧上.

又，

，

其中，R为的半径，也是的直径，则.

必要性.

设与的交点为S、T(也许S=T，且由充分性的证明知，必与有交点).

过点S、T与垂直的直线各有一条，由充分性知其中必有一条为(设其过点S).

又由引理1知上述两条直线至多有一条是西姆松线，故由，且的交点在上知Q=P'，即P、Q为的对径点.

引理3对的两条不同的直径PP'、QQ'，有P"≠Q".

证明 由引理2充分性的结论易证.

回到原题.

充分性.

对的直径PP'、QQ'，且PP'⊥QQ'.不妨设PP'不与凸四边形内部相交，且PP’与的夹角分别为.

由QQ'⊥PP'，则QQ'与的夹角分别为.

不妨设QQ'不与凸四边形内部相交.则由引理2知，在上，有，

且，.

故为的对径点.

必要性.(同一法)

由充分性及引理3易证.