题目内容

已知向量 $数学公式$ =（cosωx，sinωx）， $数学公式$ =（cosωx， $数学公式$ cosωx），其中（0＜ω＜2）．函数， $数学公式$ 其图象的一条对称轴为 $数学公式$ ．
（I）求函数f（x）的表达式及单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为其面积，若 $数学公式$ =1，b=1，S_△ABC= $数学公式$ ，求a的值．

解：（I））f（x）= $\text{[math]}$ sinωxcosωx- $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
当x= $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$
∵0＜ω＜2∴ω=1
∴ $\text{[math]}$
- $\text{[math]}$ +2kπ
解得kπ- $\text{[math]}$
所以f（x）d的递增区间为 $\text{[math]}$
（II） $\text{[math]}$
在△ABC中，0＜A＜π， $\text{[math]}$
∴A+ $\text{[math]}$
∴A= $\text{[math]}$
由S_△ABC= $\text{[math]}$ ，b=1得c=4
由余弦定理得a²=4²+1²-2×4×1cos60°=13
故a= $\text{[math]}$
分析：（I）利用效率低数量积公式求出f（x）；利用三角函数的二倍角公式化简f（x）；利用对称轴对应的函数值是最值；列出方程求出ω，求出f（x）；令整体角在[ $\text{[math]}$ ]上，求出x的范围即函数的递增区间．
（II）先求出角A，利用三角形的面积公式列出方程求出c；利用三角形的余弦定理求出a．
点评：本题考查向量的数量积公式、考查三角函数的二倍角公式、求三角函数的单调区间采用整体角处理的方法、考查三角形的面积公式、三角形的正弦，余弦定理．