Question

【题目】已知函数是定义在上的奇函数．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）判断在定义域上的单调性并加以证明；

（Ⅲ）若对于任意的，不等式恒成立, 求的取值范围．

Answer 1

【答案】（I）；（II）减函数，证明见解析；（III）.

【解析】

（I）根据函数是上的奇函数，利用求得的值，再利用一个特殊点，求得的值.（II）任取，通过计算证得函数在上递减.（III）利用函数的奇偶性和单调性，化简不等式，将函数符号去掉，然后对分离常数，利用的取值范围求得的取值范围.

（Ⅰ）∵ 为R上的奇函数,

∴. 又,得.

经检验符合题意

（Ⅱ）任取且＜，

=

由函数的单调性可知，

而，

故＞0，

所以函数在(-∞,+∞)上为减函数

（Ⅲ）∵,不等式＜0恒成立,

∴＜. ∵为奇函数,

∴＜,

∵为减函数,

∴＞

即＜恒成立

而=∴＜