Question

如图,在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,AC=BC=CC₁,AC⊥BC,点D是AB的中点.

(1)求证:CD⊥平面A₁ABB₁;

(2)求证:AC₁∥平面CDB₁;

(3)求直线B₁B和平面CDB₁所成角的大小.

Answer 1

解法一：（1）证明:∵ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱,

∴平面ABC⊥平面A₁ABB₁.

∵AC=BC,点D是AB的中点,

∴CD⊥AB.

∴CD⊥平面A₁ABB₁.

(2)证明:连结BC₁,设BC₁与B₁C的交点为E,连结DE.

∵D是AB的中点,E是BC₁的中点,

∴DE∥AC₁.

∵DE平面CDB₁,AC₁平面CDB₁,

∴AC₁∥平面CDB₁.

(3)由(1)知CD⊥平面A₁ABB₁,

∴平面CDB₁⊥平面A₁ABB₁,且平面CDB₁∩平面A₁ABB₁=DB₁,

∴直线B₁B和平面CDB₁所成的角就是B₁B和DB₁所成的角,即∠BB₁D是直线B₁B和平面CDB₁所成的角.

∵=(1,-1,-2),

∴cos〈,〉=.

∴直线B₁B和平面CDB₁所成角的大小是arccos.