题目内容

在直角坐标系xOy中，长为 $数学公式$ 的线段的两端点C、D分别在x轴、y轴上滑动， $数学公式$ ．记点P的轨迹为曲线E．
（I）求曲线E的方程；
（II）经过点（0，1）作直线l与曲线E相交于A、B两点， $数学公式$ ，当点M在曲线E上时，求 $数学公式$ 的值．

解：（Ⅰ）设C（m，0），D（0，n），P（x，y）．
由 $\text{[math]}$ ，得（x-m，y）= $\text{[math]}$ （-x，n-y），
∴x-m=- $\text{[math]}$ x，y= $\text{[math]}$ （n-y），
由|CD|= $\text{[math]}$ +1，得m²+n²=（ $\text{[math]}$ +1）²，
∴（ $\text{[math]}$ +1）²x²+ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ +1）²，
整理，得曲线E的方程为x²+ $\text{[math]}$ =1
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由 $\text{[math]}$ 知点M坐标为（x₁+x₂，y₁+y₂）．
设直线l的方程为y=kx+1，代入曲线E方程，得（k²+2）x²+2kx-1=0，
则x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁x₂=- $\text{[math]}$ ，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2= $\text{[math]}$ ，
由点M在曲线E上，知（x₁+x₂）²+ $\text{[math]}$ =1，
即（- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ =1
解得k²=2．
∴x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（ $\text{[math]}$ ）+1=- $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）设C、D、P的坐标，利用 $\text{[math]}$ ，确定坐标之间的关系，由|CD|= $\text{[math]}$ +1，得m²+n²=（ $\text{[math]}$ +1）²，从而可得曲线E的方程；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由 $\text{[math]}$ 知点M坐标为（x₁+x₂，y₁+y₂）．设直线l的方程为y=kx+1，代入曲线E方程，利用韦达定理及点M在曲线E上，求得k²=2，再利用向量的数量积公式，即可求得结论．
点评：本题考查向量知识的运用，考查轨迹方程，考查直线与曲线的位置关系，正确运用向量，确定坐标之间的关系是关键．