Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱AA₁⊥平面ABC,△ABC为正三角形，侧面AA₁C₁C是正方形, E是的中点,F是棱CC₁上的点.

（1）当时，求正方形AA₁C₁C的边长；
（2）当A₁F+FB最小时，求证：AE⊥平面A₁FB.

Answer 1

（1）2；（2）参考解析

试题分析：（1）依题意可得△EAB的面积为定值，点F到平面EAB的距离为定值即为点C到平面平面的距离.又因为△ABC为正三角形，侧面AA₁C₁C是正方形，所以假设正方形AA₁C₁C为x，再根据等式，即可求出结论.
（2）因为当A₁F+FB最小时，即需要将三棱柱的侧面展开，通过计算得到符合条件的F为中点.由线面垂直的判断定理，转化为线线垂直，由条件的即可证得.解（二）通过线段长的计算得到直角三角形，从而得到线与线垂直，也可行.
试题解析：（1）设正方形AA₁C₁C的边长为由于E是的中点，△EAB的面积为定值.
∥平面，点F到平面EAB的距离为定值即为点C到平面平面的距离
又，且=.即，. 
（2）解法一：将侧面展开到侧面得到矩形,连结,交于点,此时点使得最小.此时平行且等于的一半,

为的中点.
取AB中点O，连接OE,EF，OC，为平行四边形，

△ABC为正三角形，，又平面ABC，,且,平面,平面，
,又∥,由于E是的中点，所以,又,
所以直线AE与平面垂直
解法二：将侧面展开到侧面得到矩形,连结,交于点,此时点使得最小.此时平行且等于的一半,为的中点.
过点作交于，则是的中点，.
过点作交于，则
又于是在中，
在中，
在中，， ∴
由于E是的中点，所以,又,
所以直线AE与平面垂直