Question

已知数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=2a_n-1（n≥1，n∈N）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

2n

anan+1

，数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：Sn＜

1

3

．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=2a_n-1，得a_n+1-1=2（a_n-1），从而可得{a_n-1}是以2为首项，2为公比的等比数列，由此可求数列的通项公式；
（2）利用裂项法求出数列的和，即可证得结论．

解答：（1）解：由a_n+1=2a_n-1，得a_n+1-1=2（a_n-1），
又a₁-1=2，所以{a_n-1}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴an-1=2n，即an=2n+1；
（2）证明：bn=

2n

anan+1

=

2n

(2n+1)(2n+1+1)

=

1

2n+1

-

1

2n+1+1

∴Sn=( 1 21+1 - 1 22+1 )+( 1 22+1 - 1 23+1 )+…+( 1 2n+1 - 1 2n+1+1 )

=

1

3

-

1

2n+1+1

∵

1

2n+1+1

＞0，
∴Sn＜

1

3

．

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的通项与求和，属于中档题．