Question

若a，b∈R，且|a|+|b|<1，证明方程x²+ax+b=0的两个实根的绝对值小于1。

Answer 1

答案：
解析：

证明：设方程x2+ax+b=0的两根为x1，x2，由一元二次方程根与系数的关系得：x1+x2=－a，x1x2=b，即a=－(x1+x2)，b=x1x2               ① 将①代入已知条件|a|+|b|<1，得： |x1+x2|+|x1x2|<1 ∴|x1+x2|<1－|x1x2|。 由绝对值不等式的性质得： |x1|－|x2|≤|x1+x2|<1－|x1x2|， 则有：|x1|－|x2|<1－|x1x2|。 移项因式分解得： |x1|(1+|x2|)－|x2|－1<0 (1+|x2|)(|x1|－1)<0 ∵1+|x2|>0，∴|x1|－1<0 即|x1|<1。 同理可证：|x2|<1。