Question

【题目】已知椭圆方程是 =1，F1 ， F2是它的左、右焦点，A，B为它的左、右顶点，l是椭圆的右准线，P是椭圆上一点，PA、PB分别交准线l于M，N两点．
（1）若P（0， ），求 的值；
（2）若P（x0 ， y0）是椭圆上任意一点，求 的值；
（3）能否将问题推广到一般情况，即给定椭圆方程是 =1（a＞b＞0），P（x0 ， y0）是椭圆上任意一点，问 是否为定值？证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：椭圆 =1的a=2，b= ，c=1，

可得A（﹣2，0），B（2，0），F1（﹣1，0），F2（1，0），右准线l：x=4，

由P（0， ），可得直线PA的方程为y= （x+2），令x=4，可得M（4，3 ），

同理可得N（4，﹣ ），

则 =（﹣1﹣4，﹣3 ）（1﹣4， ）=﹣5×（﹣3）﹣3 × =6

（2）解：设P（x0，y0），则 + =1，即y02=3（1﹣ ），

直线PA的方程为y= （x+2），（x0≠﹣2），

与x=4联立，可得M（4， ），同理可得N（4， ），

则 =（﹣5，﹣ ）（﹣3，﹣ ）=15+

=15+ =15﹣9=6；

（3）解： 为定值2b2．

证明：由椭圆 =1，

可得A（﹣a，0），B（a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），右准线l：x= ，

设P（x0，y0），则 =1，即y02=b2（1﹣ ），

直线PA的方程为y= （x+a），（x0≠﹣a），

与x= 联立，可得M（ ， ），

同理可得N（ ， ），

则 =（﹣c﹣ ，﹣ ）（c﹣ ，﹣ ）

= ﹣c2+ = +

= ﹣ = =2b2

【解析】（1）求得椭圆的a，b，c，可得顶点的坐标和焦点的坐标，求出直线PA的方程，求得M的坐标，同理可得N的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，可得结论；（2）设P（x0 ， y0），则 1，即y02=3（1﹣ ），求得直线PA的方程，可得M的坐标，以及N的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，即可得到所求值6；（3） 为定值2b2 ． 设出椭圆的左右顶点和焦点，右准线方程，求得直线PA的方程，可得M的坐标和N的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得到定值．