Question

（本小题满分12分）在中，．

（Ⅰ）求重心G的轨迹方程

（Ⅱ）设P为（1）中所求轨迹上任意一点，求的最小值．

 

Answer 1

（Ⅰ）； （Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为AB、AC边上的中线长为定值9，由重心的性质,知，即动点G到两定点B、C的距离之和为定值6，且，所以点轨迹符合椭圆轨迹定义，根据椭圆定义相关性质易求得点轨迹方程；（Ⅱ）据已知，点在椭圆上，由椭圆定义可得（定值），，由余弦定理可得的表达式，结合相关等价变形和基本不等式可得所求．

试题解析：（Ⅰ）设的中点分别为（如下图所示），则据题意

,即动点G到两定点B、C的距离之和为定值6，,

点轨迹为以B、C为焦点的椭圆，

据题意可设椭圆方程为，则

，,即，根据椭圆的相关性质得，

所以点的轨迹方程为；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点在椭圆上（如上图所示），由椭圆定义可得（定值） ， ，由余弦定理可得:

，显然当取得最大值时最小，

根据基本不等式得，即的最大值为9，

所以的最小值为．

考点：①椭圆的定义和性质；②椭圆的标准方程；③基本不等式；④最值求解的基本思想．