Question

已知函数f(x)＝xe^－x(x∈R)．

(1)求函数f(x)的单调区间和极值；

(2)已知函数y＝g(x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．证明当x＞1时，f(x)＞g(x)；

(3)如果x₁≠x₂，且f(x₁)＝f(x₂)，证明x₁＋x₂＞2．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)．令，则． 　　当变化时，的变化情况如下表： 　　所以在区间内是增函数，在区间内是减函数． 　　函数在处取得极大值．且．(4分) 　　(2)因为函数的图象与函数的图象关于直线对称， 　　所以，于是． 　　记，则，， 　　当时，，从而，又，所以， 　　于是函数在区间上是增函数． 　　因为，所以，当时，．因此．(9分) 　　(3)①若，由(1)及，得，与矛盾； 　　②若，由由(1)及，得，与矛盾； 　　根据①，②可得．不妨设． 　　由(2)可知，所以． 　　因为，所以，又，由(1)，在区间内是增函数， 　　所以，即．(14分)