Question

已知函数f（x）=x²+a lnx（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-

1

2x

在定义域内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x），对a进行分类讨论，再分别求解f′（x）＞0和f′（x）＜0，即可得到f（x）的单调区间；
（Ⅱ）根据题意可知g′（x）≤0在（0，+∞）内能成立，利用参变量分离法，转化为a≤-2x²-

1

2x

在（0，+∞）上能成立，令h（x）=-2x²-

1

2x

，则将问题转化为a≤h（x）_max，从而利用导数求出h（x）的最大值即可，最后要注意验证取等号是否成立，从而得到实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+alnx，
∴f（x）的定义域为{x|x＞0}，
f′（x）=2x+

a

x

=

2x2+a

x

，（x＞0）
①当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
②当a＜0时，
令f′（x）＞0，即

2x2+a

x

＞0，
∴2x²+a＞0，
∴x＞

- a 2

，
令f′（x）＜0，即

2x2+a

x

＜0，
∴2x²+a＜0，
∴0＜x＜

- a 2

，
∴f（x）的单调递增区间为（

- a 2

，+∞），单调递减区间为（0，

- a 2

）．
综合①②可得，当a≥0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），
当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（

- a 2

，+∞），单调递减区间为（0，

- a 2

）；
（Ⅱ）∵f（x）=x²+alnx，且g（x）=f（x）-

1

2x

，
∴g（x）=x²+alnx-

1

2x

，（x＞0）
∴g′（x）=2x+

a

x

+

1

2x2

≤0在（0，+∞）上能成立，
∴

a

x

≤-2x-

1

2x2

，
∵x＞0，
∴a≤-2x²-

1

2x

在（0，+∞）上能成立，
令h（x）=-2x²-

1

2x

，
∴a≤-2x²-

1

2x

在（0，+∞）上能成立，即为a≤h（x）_max，
∵h′（x）=-4x+

1

2x2

=

1-8x3

2x2

，
∴令h′（x）＞0，即1-8x³＞0，则0＜x＜

1

2

，
令h′（x）＜0，即1-8x³＜0，则x＞

1

2

，
∴h（x）在（0，

1

2

）上单调递增，在（

1

2

，+∞）上单调递减，
∴当x=

1

2

时，h（x）取得最大值h（

1

2

）=-2×(

1

2

)2-

1

2× 1 2

=-

3

2

，
∴a≤-

3

2

，
又当a=-

3

2

时，g′（x）=

(x+1)(2x-1)2

2x2

≥0（x＞0），
∴a=-

3

2

时，不符合题意，
∴实数a的取值范围为a＜-

3

2

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数问题时，经常会运用分类讨论的数学思想方法．属于中档题．