Question

已知f（x）=4x+ax2-

2

3

x3(x∈R)在区间[-1，1]上是增函数．
（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；
（Ⅱ）设关于x的方程f（x）=2x+

1

3

x3的两个非零实根为x₁、x₂．试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）f'（x）=4+2ax-2x²，∵f（x）在[-1，1]上是增函数，
∴f'（x）≥0对x∈[-1，1]恒成立，
即x²-ax-2≤0对x∈[-1，1]恒成立．①
设φ（x）=x²-ax-2，
①?

φ(1)=1-a-2≤0 φ(-1)=1+a-2≤0

?-1≤a≤1，
∵对x∈[-1，1]，只有当a=1时，f'（-1）=0以及当a=-1时，f'（1）=0
∴A={a|-1≤a≤1}．

（Ⅱ）由4x+ax2-

2

3

x3=2x+

1

3

x3，得x=0，或x²-ax-2=0，
∵△=a²+8＞0
∴x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的两非零实根，x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，
从而|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

a2+8

．
∵-1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=

a2+8

≤3．
要使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，
当且仅当m²+tm+1≥3对任意t∈[-1，1]恒成立，
即m²+tm-2≥0对任意t∈[-1，1]恒成立．②
设g（t）=m²+tm-2=mt+（m²-2），
②?g（-1）=m²-m-2≥0且g（1）=m²+m-2≥0，
?m≥2或m≤-2．
所以，存在实数m，使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，
其取值范围是{m|m≥2，或m≤-2}．