选修4-2:矩阵与变换已知变换矩阵M=的一个特征值为3.其所对应的特征向量为.并且矩阵M对应的变换将点 ① 求矩阵M的逆矩阵 ② 求直线x+y-1=0经变换后对应的曲线方程. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换

已知变换矩阵M=的一个特征值为3，其所对应的特征向量为，并且矩阵M对应的变换将点（1，3）变换成（7，5）

① 求矩阵M的逆矩阵

② 求直线x＋y－1=0经变换后对应的曲线方程。

解：①依题意：

∴即 ∴M=，

∴ …………4分

法一：②设(x、y)是x＋y－1=0上任一点，经M^－¹变换后为点(x¹、y¹)

∴即即

代入x＋y－1=0 可得: 3x¹＋3y¹=0

∴所求曲线方程是3x＋3y－1=0 ……7分

法二：设(x、y)是变换后曲线上任一点，则其经过M变换后为(x¹、y¹)是x¹、y¹必在直线x＋y－1=0上，即

即

代入x＋y－1=0可得：3x＋3y－1=0

∴所求曲线方程是3x＋3y－1=0 ……………………7分

练习册系列答案

a	0
0	b

（其中a＞0，b＞0）．
（Ⅰ）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（Ⅱ）若曲线C：x²+y²=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：

+y2=1，求a，b的值．
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为

cos∂

y=sin∂

(∂为参数)．
（Ⅰ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，

），判断点P与直线l的位置关系；
（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
设不等式|2x-1|＜1的解集为M．
（Ⅰ）求集合M；
（Ⅱ）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．

选考题部分
（1）（选修4-4 参数方程与极坐标）（本小题满分7分）
在极坐标系中，过曲线L：ρsin²θ=2acosθ（a＞0）外的一点A(2

，π+θ)（其中tanθ=2，θ为锐角）作平行于θ=

(ρ∈R)的直线l与曲线分别交于B，C．
（Ⅰ）写出曲线L和直线l的普通方程（以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建系）；
（Ⅱ）若|AB|，|BC|，|AC|成等比数列，求a的值．
（2）（选修4-5 不等式证明选讲）（本小题满分7分）
已知正实数a、b、c满足条件a+b+c=3，
（Ⅰ）求证：

≤3；
（Ⅱ）若c=ab，求c的最大值．

(1)(本小题满分7分) 选修4一2:矩阵与变换
若点A（2，2）在矩阵对应变换的作用下得到的点为B（－2，2），求矩阵M的逆矩阵．
(2)(本小题满分7分) 选修4一4:坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C₁：与曲线C₂：（t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB．
(3)(本小题满分7分) 选修4一5:不等式选讲
求证:,.