题目内容
如下图，在四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝
，
，
．
(Ⅰ)求点D到平面PBC的距离；(Ⅱ)求二面角C－PD－A的大小．
答案：
解析：
解析：
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(Ⅰ)如图，在四棱锥P－ABCD中，
∵BC∥AD，从而点D到平面PBC间的距离等于点A到平面PBC的距离． ∵∠ABC＝ ∴BC⊥平面PAB， 2分 ∴平面PAB⊥平面PBC，交线为PB，过A作AE⊥PB，垂足为E，则AE⊥平面PBC， ∴AE的长等于点D到平面PBC的距离．而 即点D到平面PBC的距离为 (Ⅱ)∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥底面ABCD， 引CM⊥AD于M，MN⊥PD于N，则CM⊥平面PAD， ∴MN是CN在平面PAD上的射影， 由三垂线定理可知CN⊥PD， ∴∠CNM是二面角 依题意 ∴ 可知 解法二：如图，A为原点，分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
(Ⅰ)依题意 ∴ ∴
∴ 设平面PBC的一个法向量为 则点D到平面PBC的距离等于 (Ⅱ)∵AB⊥PA，AB⊥AD，∴AB⊥底面PDA，∴平面PDA的一个法向量为 设平面PDC的一个法向量为 ∵ 令 ∵二面角C－PD－A是锐二面角，∴二面角C－PD－A的大小为 |
，∴AB⊥BC，又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC，
，∴
． 5分
． 6分
的平面角． 9分
，
，
，∴
，
，∴
，
，∴二面角
的大小为
12分
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，
．则
，
，
，
，
，
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．
，则
令
，得
，
．
，
，
，∴
，得
，∴
．
． 12分
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