Question

3．已知P是抛物线y²=4x上的一个动点，则P到直线l₁：4x-3y+11=0和l₂：x+1=0的距离之和的最小值是3．

Answer 1

分析 如图所示，过点P分别作PM⊥l₁，PN⊥l₂，垂足分别为M，N．设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，求|PM|+|PN|转化为求|PM|+|PF|，当三点M，P，F共线时，|PM|+|PF|取得最小值．利用点到直线的距离公式求解即可．

解答 解：如图所示，
过点P分别作PM⊥l₁，PN⊥l₂，垂足分别为M，N．l₂：x+1=0是抛物线y²=4x的准线方程．
抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），
由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，过P作直线l₁：4x-3y+11=0的垂线，垂足为M，
∴|PM|+|PN|=|PM|+|PF|，当三点M，P，F共线时，|PM|+|PF|取得最小值．
其最小值为点F到直线l₁的距离，∴|FM|=$\frac{|4-0+11|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了抛物线的定义及其性质、三点共线、点到直线的公式，考查转化思想的应用，属于中档题．