Question

在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且椭圆的离心率.

(1)求椭圆的方程；

(2)设椭圆的上下顶点分别为,是椭圆上异于的任一点,直线分别交轴于点,证明:为定值,并求出该定值；

(3)在椭圆上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）存在点满足题意，点的坐标为， 的面积为．

【解析】

试题分析：（1）由题目给出的条件直接列关于的方程组求解的值，则椭圆方程可求；（2）由椭圆方程求出椭圆上下顶点的坐标，设出椭圆上的动点，由直线方程的两点式写出直线的方程，取后得到和的长度，结合点在椭圆上整体化简运算可证出为定值；（3）假设存在点，使得直线与圆，相交于不同的两点，且的面积最大，由点在椭圆上得到关于和的关系式，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由圆中的半径，半弦长和弦心距之间的关系求出弦长，写出的面积后利用基本不等式求面积的最大值，利用不等式中等号成立的条件得到关于和的另一关系式，联立后可求解的坐标．

试题解析：

（1）由题意：，解得：

所以椭圆

(2) 由（1）可知,设,

直线:,令,得;

直线:,令,得;

则,

而,所以,

所以

(3)假设存在点满足题意，则，即

设圆心到直线的距离为，则，且

所以

所以

因为，所以，所以

所以

当且仅当，即时，取得最大值

由，解得

所以存在点满足题意，点的坐标为

此时的面积为．

考点：本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线和圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．