Question

【题目】记（，）.

（1）求函数的零点；

（2）设、、均为正整数，且为最简根式，若存在，使得可唯一表示为的形式（），求证：；

（3）已知，是否存在，使得

成立，若存在，试求出的值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明略；（3）存在.

【解析】

（1）写出F（x）的解析式，解方程F（x）=0，可得零点；

（2）由题意可得，，两式相乘可得证明。

（3）由条件可得t+s=ts，假设存在n1∈N*，使得成立，化简整理求出满足条件的t，s和n1的值。

（1）函数F（x）=f2（x-1）-1=（x-1）2-1，x＞1，

由F（x）=0，解得x=2（0舍去），

即有F（x）的零点为2

（2）证明：若存在n0∈N*，

使得可唯一表示为的形式（）

即有，

两式相乘可得|ξ2-η2μ|n0=T-（T-1）=1

可得|ξ2-η2μ|=1

（3）假设存在n1∈N*，使得成立

由f-1（t）+f-1（s）=1，可得t-1+s-1=1，即t+s=ts

由假设可得

即为

即有

可取t=s=2，n1可取一切正整数，上式成立。

则存在n1∈N*，使得成立