Question

已知函数g(x)=-

a2

3

x3+

a

2

x2+cx(a≠0)，
（I）当a=1时，若函数g（x）在区间（-1，1）上是增函数，求实数c的取值范围；
（II）当a≥

1

2

时，求证：对任意的x∈[0，1]，g^/（x）≤1的充要条件是c≤

3

4

；

Answer 1

分析：（1）根据g（x）在（-1，1）上为单调递增函数，转化成g'（x）≥0在（-1，1）上恒成立，将参数c分离出来，研究函数再开区间上值域，即可求出c的范围；
（2）先求出f（x），然后利用配方法求出函数的最大值，再从充分性与必要性两方面进行证明即可．

解答：解：（1）当a=1时，g(x)=-

1

3

x3+

1

2

x2+cx，
g'（x）=-x²+x+c（1分）∵g（x）在（-1，1）上为单调递增函数，
∴g'（x）≥0在（-1，1）上恒成立（2分）
∴-x²+x+c≥0在（-1，1）上恒成立（3分）∴c≥2（4分）
（2）设g'（x）=f（x），则
f（x）=-a²（x-

1

2a

）²+c+

1

4

∵a≥

1

2

∴0＜

1

2a

≤1即

1

2a

∈(0，1]
当x=

1

2a

时，[f（x）]max=f（

1

2a

）=c+

1

4

充分性：∵c≤

3

4

∴x∈[0，1]时，f（x）≤c+

1

4

≤1
∴f（x）≤1（x∈[0，1]）
必要性：x∈[0，1]时f（x）≤1而

1

2a

∈(0，1]
∴f（

1

2a

）=c+

1

4

≤1
∴c≤

3

4

点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及利用导数研究函数的单调性，属于基础题．