Question

已知向量

m

=(coswx，sinwx)，

n

=(coswx，

3

coswx)，设函数f(x)=

m

•

n

+1且f（x）的最小正周期为2π．
（I）求f（x）的单调递增区间和最值；
（II）已知函数g(x)=

tanx-tan3x

1+2tan2x+tan4x

，求证：f（x）＞g（x）．

Answer 1

分析：（I）利用两个向量的数量积、两角和的正弦公式，求得f(x)=sin(2wx+

π

6

)+

3

2

，由周期求得w的值，得到函数的解析式，由 2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

?2kπ-

2

3

π≤x≤2kπ+

π

3

，求得单调增区间．
（II） 化简g（x） 的解析式为

1

4

sin4x，求得g（x）的最大值，由f（x）_min＞g（x）_max，得到f（x）＞g（x）．

解答：解：（I）f(x)=sin(2wx+

π

6

)+

3

2

，T=

2π

2w

=2π?w=

1

2

，∴f(x)=sin(x+

π

6

)+

3

2

，
 由 2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

?2kπ-

2

3

π≤x≤2kπ+

π

3

，
故f（x）的单调递增区间为[2kπ-

2

3

π，2kπ+

π

3

]，k∈Z．
当x=

π

3

+2kπ，k∈Z时，f(x)max=

5

2

．   当x=

4

3

π+2kπ，k∈Z时，f(x)min=

1

2

．
（II）g(x)=

tanx(1-tan2x)

(1+tan2x)2

=

1

2

2tanx

1+tan2x

1-tan2x

1+tan2x

=

1

2

2sinxcosx

sin2x+cos2x

cos2x-sin2x

sin2x+cos2x

=

1

2

sin2xcos2x=

1

4

sin4x．
故g(x)max=

1

4

，由（I）可知f(x)min=

1

2

，故f（x）_min＞g（x）_max，故f（x）＞g（x）．

点评：本题考查两角和的正弦公式，两个向量的数量积公式，同角三角函数的基本关系，以及三角函数的值域，求出f（x）的最小值和 g（x）的最大值，是解题的关键．