题目内容

已知
a
=(2sin
x
2
，
3
+1)
b
=(cos
x
2
-
3
sin
x
2
，1)f(x)=
a
•
b
+m
（1）求f（x）在[0，2π]上的单调区间
（2）当x∈[0，
π
2
]时，f（x）的最小值为2，求f（x）≥2成立的x的取值集合．
（3）若存在实数a，b，C，使得a[f（x）-m]+b[f（x-C）-m]=1，对任意x∈R恒成立，求
b
a
cosC的值．
（1）f(x)=
a
•
b
+m=2sin
x
2
cos
x
2
-2
3
sin2
x
2
+
3
+1+m=sinx+
3
cosx+1+m=2sin（x+
π
3
）+1+m
由x∈[0，2π]，可得
π
3
≤x+
π
3
≤2π+
π
3
．
当
π
3
≤x+
π
3
≤
π
2
时，可得函数f（x）在 [0，
π
6
]上递增，当
π
2
≤x+
π
3
≤
3π
2
时，可得函数f（x）在[
π
6
，
7π
6
]上 递减．
当
3π
2
≤x+
π
3
≤2π+
π
3
时，可得函数在[
7π
6
，2π]上递增．------------（2分）
（2）由于x∈[0，
π
2
]，x+
π
3
∈[
π
3
，
5π
6
]，故sin(x+
π
3
)min=
1
2
，所以f（x）min=2+m=2    所以 m=0．--------（1分）
所以，f(x)=2sin(x+
π
3
)+1，由f（x）≥2，可得2sin(x+
π
3
)+1≥2sin(x+
π
3
)≥
1
2
，2kπ+
π
6
≤x+
π
3
≤2kπ+
5π
6
，
所以{x|2kπ-
π
6
≤x≤2kπ+
π
2
 k∈z}．--------（3分）
（3）∵a[f(x)-m]+b[f(x-C)-m]=a[2sin(x+
π
3
)+1]+b[2sin(x+
π
3
-C)+1] 
=2asin(x+
π
3
)+a+2bsin(x+
π
3
)cosC-2bsinCcos(x+
π
3
)+b，
对任意x∈R，(2a+2bcosc)sin(x+
π
3
)-2bsinccos(x+
π
3
)+b+a-1=0 恒成立，
故有（2a+2bcosC）=0，且2bsinC=0，且b+a-1=0．
经讨论只能有 sinC=0，cosC=-1，a=b=
1
2
，所以，
b
a
cosC=-1．--------（4分）
练习册系列答案
相关题目
已知
a
=(2sinx，cosx)，
b
=(
3
cosx，2cosx)，且f(x)=
a
•
b
-1．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；
（2）若x∈[0，
π
2
]，求函数f（x）的最大值与最小值．
已知
a
=(2sinx，cosx)，
b
=(
3
cosx，2cosx)，函数f(x)=
a
•
b

（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[-
π
6
，
π
2
]时，求f（x）的值域．
已知
a
=(2sinx，cosx+sinx)，
b
=(cosx，cosx-sinx)，函数f(x)=
a
•
b
，
（1）求函数的解析式及函数的最小正周期；
（2）求函数f（x）在[0，
π
2
]上的值域．
已知
a
=(2sinx，cosx)，
b
=(cosx，-2cosx)，若f（x）=
a
•
b
+1，求：
（1）f（x）的表达式及周期
（2）y=lg[f（x）]的单调递增区间．
已知
a
=(2sinx，
2
cos(x-
π
2
)+1)，
b
=(cosx，
2
cos(x-
π
2
)-1)，设f(x)=
a
•
b
．
（1）求f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，且a=2，f（A）=1，b=
6
，求边c．

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