Question

1．已知sinx+cosx=$\frac{1}{5}$．
（1）求sinx-cosx的值；
（2）求$\frac{si{n}^{4}x+co{s}^{4}x+si{n}^{2}xco{s}^{2}x}{2-sin2x}$的值．

Answer 1

分析 （1）把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，整理求出2sinxcosx的值，原式平方利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，开方即可求出sinx-cosx的值．
（2）利于平方和公式和二倍角公式化简，代入sin2x的值，即可求值．

解答 解：（1）∵sinx+cosx=$\frac{1}{5}$．两边平方可得：1+sin2x=$\frac{1}{25}$，解得：sin2x=-$\frac{24}{25}$，
∴sinx-cosx=$±\sqrt{（sinx-cosx）^{2}}$=±$\sqrt{1-sin2x}$=±$\sqrt{1+\frac{24}{25}}$=$±\frac{7}{5}$．
（2）∵由（1）可得sin2x=-$\frac{24}{25}$，
∴$\frac{si{n}^{4}x+co{s}^{4}x+si{n}^{2}xco{s}^{2}x}{2-sin2x}$=$\frac{（si{n}^{2}x+co{s}^{2}x）^{2}-si{n}^{2}xco{s}^{2}x}{2-sin2x}$=$\frac{1-\frac{si{n}^{2}2x}{4}}{2-sin2x}$=$\frac{1-\frac{（-\frac{24}{25}）^{2}}{4}}{2-（-\frac{24}{25}）}$=$\frac{13}{50}$．

点评 本题主要考查了完全平方公式及同角三角函数间基本关系式，二倍角公式的应用，考查了计算能力，熟练掌握相关公式是解题的关键，属于中档题．