Question

3．已知sinα+sinβ=$\frac{1}{2}$，则sinα-cos²β的取值范围是[-$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}$]．

Answer 1

分析 利用已知条件，化简所求表达式只有一个角的三角函数的形式，通过三角函数以及二次函数的性质求解表达式的最值即可．

解答 解：sinα+sinβ=$\frac{1}{2}$，则sinα-cos²β=$\frac{1}{2}$-sinβ-（1-sin²β）=sin²β-sinβ-$\frac{1}{2}$=（sinβ-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{3}{4}$．
∵sinα+sinβ=$\frac{1}{2}$，∴sinβ∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴sinβ=$\frac{1}{2}$时，函数取得最小值：-$\frac{3}{4}$．
sinβ=-$\frac{1}{2}$时，函数取得最大值：$\frac{1}{4}$．
故sinα-cos²β的取值范围是[-$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}$]，
故答案为：[-$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}$]．

点评 本题考查三角函数的最值的求法，涉及二次函数的性质的应用，考查计算能力．